使用說明

我是天橋底下說數的,可能會將所有和數學有關的事情分成九十九段,每日不停輪流的廣播,希望聽眾不會少。

2015/01/29

該買威力彩嗎?

速食店裡,三個剛放學的高中生。戴俊邊吃著薯條邊滑手機,李杏則是邊啃著漢堡邊配著科學人雜誌,至於恕雪,雖然看似專注的喝著可樂,但眼神卻似乎思考著什麼問題。

「威力彩頭獎獎金上看10億耶!」戴俊興奮的說。

「喔。」一旁的李杏,冷淡的回答。

「幹麼這麼冷淡啊,花個100塊,買個希望啊!」戴俊不服氣的回應。

「樂透是用來懲罰那些機率沒學好的人。」李杏淡淡的說出這句名言。

 「啥?」戴俊一臉茫然。

「我們數學老師說的。樂透或是所有的賭博,玩家得到報酬的期望值都小於零,否則長久下來莊家一定會破產。」

「雖然聽不太懂,但好像蠻有道理的。」戴俊終究還是被說服了。

「其實,也未必喔。」一直沉默的恕雪突然開口,其他兩人都嚇了一跳。



期望值的定義

在上面那一段對話中提到的期望值,定義是:隨機試驗中,各種結果的發生機率乘上該結果的總和。也就是說,在重複多次隨機試驗後,我們預期所得到結果的平均值,就是期望值。

例如:投擲一個六面骰子,出現每一面的機率為1/6,每一面的點數為1~6,因此得到點數的期望值就是1×1/6+2×1/6+3×1/6+4×1/6+5×1/6+6×1/6=3.5。

也就是說,當我們投擲一個骰子時,我們可以期望得到的點數是3.5。當然,我們不可能在任何一次的投擲中得到3.5這個點數,而是投擲多次後,我們所得到點數的平均值約為3.5。



期望值的應用

如果現在有一個骰子賭局,賭局的結果當然是由這顆六面骰子骰出的點數來決定。每賭一局需要賭金30元,當玩家骰到1點,就可以拿回30元賭金,莊家還會額外賠你90元,否則賭金就會被沒收。

請問,你該不該參與這個賭局?

這個賭局其實就是個隨機試驗,當考慮獲獎金額時,這個試驗有兩種結果,一種是玩家獲勝,也就是報酬是90元,機率則是1/6。另一種結果則是玩家輸,報酬是-30元,也就是輸掉了30元的賭金,機率是5/6。

因此,這個試驗的期望值就是90×1/6+(-30)×5/6=-10元。

意思是說,這個賭局的期望回報是-10元。也就是說,你如果只賭一次,也許可能一口氣贏得90元,但是如果你長久參與這個賭局很多次之後,平均每賭一次會損失10元!

因此,期望值可以幫助我們決定是否要進行一個試驗,通常是個賭局。這也可以解釋為什麼不可能有賭客期望值大於零的賭局。因為若是對賭客的期望值大於零,那麼對莊家而言,期望值就小於零。

對於每個賭客來說,參與賭局的次數不多,所以無論期望值大小,都可能有勝有負。但是對莊家而言,必須不斷地開賭局,如果莊家期望值小於零,那麼長久下去,莊家一定會賠錢,沒有一個莊家會傻到開這樣的賭局。



該買威力彩嗎?

 回到正題,所以我們到底該不該買威力彩?或者該換個問法,什麼時候才應該買威力彩?

是要先看看當天的星座運勢怎麼說?

或是相信民間傳說,娶老婆前和生小孩後,各買一張試試看?

以上的說法到底有幾分可信,就由個人來決定了。如果是以數學的角度來看,關鍵就在於一開始的那段對話,也就是「頭獎金額」的多寡。

首先要介紹一下,威力彩的獎金分配方式。根據台灣彩卷官方網站上的說法,威力彩獎金分配的規則如下:

●參獎、肆獎、伍獎、陸獎、柒獎及捌獎每注獎金分別固定為150,000元、20,000元、4,000元、800元、400元及200元,玖獎及普獎每注獎金固定為100元。

●總獎金扣除上列獎項的獎金總額後,89%分配給頭獎獎金,11%分配給貳獎獎金。

因此,只要依據台灣彩卷公佈的「頭獎金額」,就可以推算出「貳獎金額」。其他各獎項的金額則都是固定的。

而各獎項的「中獎機率」,則是把各獎項的「中獎方式」除以「可能組數」。「可能組數」就是威力彩所有可能的號碼組合;各獎項的「中獎方式」就是中獎可能情況,例如,中頭獎只有一種可能。

把各獎項的「中獎金額」乘以該獎項的「中獎機率」,就是該獎項的單獨期望值。最後,把各獎項的期望值加總,再減去100,就是我們所希望求出的期望值了。在這裡的期望值算法和前面所使用的看起來有些不一樣,是因為買樂透時,無論中獎與否,當初所花的100元都不會被退回,因此必須考慮這固定損失的100元。

因此,買威力彩的期望值可以用以下的公式表示:

頭獎金額×中頭獎機率+貳獎金額×中貳獎機率+參獎金額×中參獎機率+…+普獎金額×中普獎機率-100

當這個數字大於零時,「買威力彩」才是一個數學上正確的決定。

除了頭獎和二獎外的獎項,獎金金額也都是固定的,貳獎獎金又約為頭獎獎金的1/8,因此,上述的公式可以再修改成下列的式子:

頭獎金額×中頭獎機率+(頭獎金額×1/8)×中貳獎機率+150000×中參獎機率+…+100×中普獎機率-100

由於各個獎項的中獎機率都是固定的,因此,上式中的唯一變數,就是頭獎金額,也就說,在目前的規則下,頭獎金額是決定期望值大小的唯一變數。因此,我們接下來要探討的是,頭獎金額要到達多少時,這個期望值才會大於零。



計算結果

假設某一期威力彩的頭獎獎金是10億,計算結果會如下圖所示,期望值約為5.95元。也就是說,平均每張可賺6元。這時候買威力彩,是個很科學的決定。如果想計算其他頭獎獎金下的期望值,可以點此連結,修改頭獎獎金。


不過,這裡並未考慮到兩人以上一起中頭獎的情況,如果發生這種情況,個人得到的頭獎獎金會大幅降低,從圖中可知整體期望值有大部份都來自頭獎,所以期望值會大幅下修。其他獎項的情況也大致相同。

另外,由於沒有考慮稅金的部份,因此讓期望值需要再度下修。

結論就是,在最樂觀的估算下,頭獎獎金都必須達到10億元左右,買樂透才是一件划算的事。當然,這是數學上的角度,前面提到各種不同的迷信,或許對每個人而言,都有不同的效果,就看個人覺得有多少參考價值了。



結語

「原來還有這層學問,以前都沒想過耶。」聽完恕雪的說明,李杏滿臉佩服的說。

「是啊,那我們真的該好好考慮什麼時候才買樂透了。」戴俊接著說。

「對了,恕雪,像妳這麼數學這麼好,應該都計算得很清楚,那妳買過樂透嗎?」李杏好奇的問恕雪。

「有啊。」

「是什麼時候啊?那時的頭獎獎金是多少?」戴俊忍不住先追問。

「我不記得了,我只知道我會去買的原因,是因為那天抽到了超稀有的白金卡。」恕雪淡淡的說完後,另外兩人的薯條同時掉到桌面,恕雪則是優雅的繼續吃著她的漢堡。

8 則留言:

  1. hello, 我對你的貼文很感興趣,請問22085448這組數據是怎麼得出的呢?

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    1. 您好,這數據就是威力彩所有獎號的組合。

      由於威力彩是由第一區的38個號碼選出6個,第二區的8個號碼選出1個,因此所有可能的組合就是C(38,6)*C(8,1),也就是((38*37*36*35*34*33)/(6*5*4*3*2))*8,可以把左列這長串的算式google看看,答案就是22085448囉。

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  2. 謝謝您的答復!那我想問一下威力彩的期望值要怎麼計算呢?可以給我詳細的步驟嗎?
    我試算的結果是1/((38¦6)x (8¦1) ) x 630000000+1/((38¦6) ) x 78750000+1/((38¦5)x (8¦1) ) x 150000+1/((38¦5) ) x 20000+1/((38¦4)x (8¦1) ) x 4000+1/((38¦4) ) x 800+1/((38¦3)x (8¦1) ) x 400+1/((38¦2)x (8¦1) ) x 200+1/((38¦3) ) x100+1/((38¦1)x (8¦1) ) x 100
    但是我覺得計算結果不對,我是用贏彩券的概率乘獎金。謝謝!

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    1. 1/((38¦6)x (8¦1) ) x 630000000+
      1/((38¦6)x (8¦7) ) x 78750000+
      1/((38¦5)x (8¦1) ) x 150000+
      1/((38¦5)x (8¦7) ) x 20000+
      1/((38¦4)x (8¦1) ) x 4000+
      1/((38¦4)x (8¦7) ) x 800+
      1/((38¦3)x (8¦1) ) x 400+
      1/((38¦2)x (8¦1) ) x 200+
      1/((38¦3)x (8¦7) ) x100+
      1/((38¦1)x (8¦1) ) x 100

      我把你的算式補上了幾個「x (8¦7)」,都是「第2區未對中」的情況,而這樣的情況一共就是有種(8¦7)可能。

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  3. 網誌管理員已經移除這則留言。

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  4. 「樂透的期望值必小於投注成本」已經是落伍的想法了,事實上樂透有可能出現正的投資報酬率,詳情請看此影片:https://youtu.be/jQwweCkjCsQ

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    1. 您好,如果您有看完整篇文章的話,應該就知道這篇文章的重點,就是討論什麼情況下,樂透的期望值會大於投注成本。

      至於您提供的影片及當中介紹的應用程式,看來就是計算每一期樂透的期望值,不過因為需要付費才能使用一些功能,所以請恕敝站無法保留連結。此留言也會在一周內刪除。

      如果這個應用程式能夠稍做調整,提供數學課堂使用,將是教育之大幸。

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    2. 有位匿名的讀者,針對此留言回覆了相當精彩的見解,但後來又自己刪除了。不知道是否願意再次分享一下意見?

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